Matematika Diskrit

1.1.  Apakah Matematika Diskrit itu?

Matematika diskrit adalah bagian dari matematika yang mempelajari objek-objek diskrit. Di sini objek-objek diskrit diartikan sebagai objek-objek yang berbeda dan saling lepas. Matematika diskrit memiliki aplikasi di hampir semua bidang kehidupan, seperti ilmu komputer, kimia, botani, zoologi, linguistik, geografi, dan bisnis. Masalah-masalah seperti

• Ada berapa cara membuat password untuk sebuah sistem komputer?
• Bagaimana mengurutkan sebuah himpunan bilangan bulat dari terkecil hingga terbesar?
• Berapa besar peluang memenangkan sebuah undian?
• Berapa jarak terpendek antara 2 kota atau lebih?
• Bagaimana rute jaringan yang baik?
• Seberapa efektif algoritma yang dibuat?

merupakan contoh kajian dalam matematika diskrit. Secara lebih umum, matematika diskrit digunakan untuk

• Menghitung banyak objek
• Mempelajari hubungan antara himpunan-himpunan berhingga
• Menganalisis proses yang melibatkan langkah-langkah yang banyaknya berhingga

Lima tema dalam matematika diskrit berikut tujuan masing-masing adalah

1. Penalaran matematika: memberikan pemahaman tentang penalaran matematika dalam membaca, memahami, dan membangun argumen matematika.
2. Analisis kombinatorial: memberikan keterampilan menghitung banyak objek sebagai salah satu kemampuan dasar untuk memecahkan masalah.
3. Struktur diskrit: memberikan pemahaman tentang struktur diskrit sebagai salah satu struktur matematika abstrak yang digunakan untuk menyajikan objek-objek diskrit dan hubungan di antara objek-objek itu.
4. Aplikasi dan Pemodelan: memperkenalkan aplikasi matematika diskri dan pemodelan matematika sebagai salah satu kemampuan pemecahan masalah yang sangat penting.
5. Berpikir algoritmik: memberikan kemampuan membuat algoritma dan verikasinya serta menganalisis memori komputer dan waktu yang dibutuhkan untuk melakukan algoritma itu.

1.2.  Mengapa Belajar Matematika Diskrit?

Beberapa alasan penting belajar matematika diskrit adalah sebagai berikut:

1. Matematika diskrit memberikan kemampuan membaca, memahami dan membangun argumen matematika.
2. Matematika diskrit merupakan pintu gerbang untuk mempelajari matakuliah lanjutan dalam logika, teori himpunan, teori bilangan, aljabar linier, aljabar abstrak, kombinatorika, teori graf,dan teori peluang.
3. Matematika diskrit memberikan landasan matematika untuk mata kuliah ilmu komputer seperti struktur data, algoritma, teori basis data, teori automata, keamanan komputer (computer security), dan sistem operasi.
4. Matematika diskrit memberikan latar belakang matematika yang diperlukan dalam pemecahan masalah riset operasi (operations research) seperti teknik optimisasi diskrit.

1.3.  Apakah Struktur Diskrit itu?

Struktur diskrit mempelajari struktur matematika yang memiliki objek atau elemen diskrit. Struktur atau sistem matematika dide¯nisikan sebagai koleksi objek dengan operasi yang terde¯nisi pada objek itu serta sifat-sifatnya. Struktur diskrit berisi pokok bahasan: Himpunan, Barisan, Fungsi, Logika, Teknik Membilang (counting techniques), Relasi, Graf, dan Pohon.

Logika merupakan study penalaran (reasoning). Pelajaran logika di fokuskan pada hubungan pernyataan – penyataan (statements).  Contoh pernyataan  :

        Semua anak sekolah memakai rok

        Setiap pemakai rok  adalah anak perempuan

        Jadi, semua anak sekolah adalah anak perempuan